2. DERECEDEN FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR

              Tanım : a, b, c, Î R ve a ¹ 0 olmak üzere;

                                   y = ax² + bx + c

biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.

              Böyle bir fonksiyon;

                                                

biçimlerinden biri ile gösterilir.

              ÖRNEKLER:

              1. R den R ye f(x) = 3x² - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup,

                                   a = 3 ,     b = - 2               ve         c = 4    tür.

              2. f: R®R     ,    f: x®9x² – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup,

                                   a = 9       ,        b = 0      ve        c = -2  dir.

              İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ

              y = ax² + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.

              1. Tepe noktasının koordinatları bulunur.

              2. Grafiğin varsa, koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.

              3. Değişim tablosu düzenlenir.

              4. Değişim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.

              TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA

              İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim.

              ÖRNEK : y = x² fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              y = x² fonksiyonuna ait olan grafik;

              x = -2                        için,      y = (-2)² = 4    olduğundan,     grafik   (-2, 4) noktasından,

              x = -1                        için,      y = (-1)² = 1    olduğundan,     grafik   (-1, 1) noktasından,

              x = 0             için,      y = (0)² = 0      olduğundan,     grafik   (0, 0) noktasından,

              x = 1             için,      y = 1² = 1        olduğundan,     grafik   (1, 1) noktasından,

              x = 2             için,      y = 2² = 4        olduğundan,     grafik   (2, 4) noktasından

geçer.

              Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.

 

              x gerçek sayıları (-¥) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında, y = x² fonksiyonu (+¥) dan sıfıra kadar azalır.

              x sıfırdan (+¥) a doğru artmaya devam ettiğinde, y = x² fonksiyonu da sıfırdan (+¥) a artarak gider.

              Grafiğin döndüğü nokta, (0, 0) noktasıdır. Bu nokta, y = x² parabolünün tepe noktası dır.

              y = x² fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.

 

              y = x² nin değişim tablosunu incelerseniz, x ± 1 için y = 1 ve x = ± 2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktaları 0_y eksenine göre simetrik noktalardır.

              O halde, 0_y ekseni (x = 0 doğrusu), y = x² fonksiyonunun grafiğinin, simetri eksenidir.

               fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir, inceleyiniz.

 

              y = ax² parabolünde;

·        a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru,

·        a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru,

·        a mutlak değerce büyüdükçe, parabolün kolları y eksenine yaklaşır.

·        a mutlak değerce küçüldükçe, parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.

·        x = 0 doğrusu (0_y ekseni), parabolün simetri eksenidir.

    

              Şimdi de, y = ax² + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

              y = ax² + bx + c fonksiyonu,

               (Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik)

               biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte,  dır.

              a > 0 ise,  ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre;  değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir.

              a < 0 ise,  ifadesi en büyük, sıfır değerini alabilir. Buna göre;  değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir.

              (I) eşitliğinde,  alınırsa, bu ifade y = a(x – r)² + k biçimine dönüşür.

              O halde; y = ax² + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = , ordinatı,  olan noktasına, parabolün tepe noktası denir.

              y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;

                                              

              ÖRNEKLER

              1. y = 2x² – x + 1 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

        

                        Verilen fonksiyonda; a = 2,  b = -1 ve c = 1 dir.

             

              O halde, tepe noktası,  dir.

              2. y = 6x² fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

             

                        Verilen fonksiyonda a = 6   ,   b = 0    ve  c = 1  dir.

             

              O halde tepe noktası, T(0, 0) dır.

              3. y = 2x² + 4 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

                        Verilen fonksiyonda, a = 2,     b = 0    ve   c = 4  tür.

             

              O halde tepe noktası, T(0,4) tür.

              Fonksiyonlar, aşağıdaki biçimde verildiğinde, tepe noktasını bulmak için, işlem yapmaya gerek yoktur.

              1. y = ax² parabolünün tepe noktası, T(0, 0) dır.

              2. y = ax² + c parabolünün tepe noktası, T(0. c) dir.

              3. y = a(x – r)² parabolünün tepe noktası, T(r. 0) dır.

              4. y = a(x – r)² + k parabolünün tepe noktası, T(r. K) dır.

              İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA

              y = ax² + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün), eksenleri kestiği noktaları bulalım.

              Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından, x = 0 alınırsa,

              y = a.0² + b.0 + c = c olur.

              O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.

              Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından, y = 0 alınırsa,

              0 = ax² + bx + c denklemi elde edilir.

              Bu denklemin kökleri x₁ ve x₂ ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x₁,0) ve(x₂,0) olur.

              ÖRNEKLER

              1. y = x² – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

        

              x = 0 için, y = 0² – 4 = -4

              O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4) tür.

              y = 0 için, 0 = x² – 4 Þ x² = 4 Þ x₁ = -2    v    x₂ = 2

              O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) dır.

              2. y = 2x² + 8 parabolünün varsa, eksenleri kestiği noktaları bulalım.

        

              x = 0 için, y = 2.0² + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0. 8) dir.

              y = 0 için, 0 = 2x² + 8 Þ 2x² = -8 Þ x² = - 4 gerçek kök yoktur.

              O halde, parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.

              3. y = x² – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.

              x=0 için, y=0²–3.0 + 2 = 2 olduğundan, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 2) dir.

              y = 0 için, x² – 3x + 2 = 0

                                (x – 2) (x – 1) = 0 Þ x₁ = 2    v   x₂ = 1 olduğundan, parabolün x eksenini kestiği noktalar, (2, 0) ile (1, 0) dır.

              4. y = (x – 1)² – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

              x = 0 için, y = (0 – 1)² – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan, parabolün,

              y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.

              y = 0 için, (x – 1)² – 4 = 0   Þ   (x – 1)² = 4

                                                                                              x₁ = 2 + 3 = 3

                                                           Þ   x – 1 =  ±2

                                                                                              x₂ = -2 + 1 = -1

              O halde, grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) dır.

              y = ax² + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

              y = ax² + bx + c fonksiyonunun,  biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının,  olduğunu göstermiştik.

              Ayrıca, bu fonksiyonun x eksenini; (x₁ , 0) ve (x₂ , 0) noktalarında y eksenini de (0, c) noktasında kestiğini bulmuştuk.

              Elde ettiğimiz bu bilgilere göre, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.

              Tablodan da görüldüğü gibi, x değişkeni (-¥) dan  ya kadar artan değerler aldığında,  ifadesi (+¥) dan sıfıra doğru azalacağından, y fonksiyonu da (+¥) dan  ya kadar azalır.

              x değişkeni dan (+¥) a doğru artan değerler aldığında, y fonksiyonu da  dan (+¥) a doğru artar.

              Bu nedenle, y = ax² + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.

 

              Tablodan görüldüğü gibi, x değişkeni (-¥) dan  ya kadar artan değerler aldığında,  ifadesi (+¥) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-¥) dan  ya kadar artar. x değişkeni  dan (+¥) a kadar artan değerler aldığında, y fonksiyonu da  dan (-¥) doğru azalır.

              O halde, y = ax² + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.

 

              ÖRNEKLER

              1. y = x² – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              Verilen fonksiyonda,   a = 1   ,   b = -4  ve   c = 3 tür.

              Tepe noktasının koordinatları;

               olduğundan, tepe noktası T(2, -1) dir.

              Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.

              x = 0 için, y = 0² – 4.0 + 3 = 3 Þ y eksenini kestiği nokta (0, 3) olur.

              y = 0 için, x² – 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ = 3,  x₂ = 1 olduğundan, x eksenini kestiği noktalar, (1, 0) ve (3, 0) bulunur.

              Elde ettiğimiz bilgilerden yararlanıp değişim tablosu yaparak grafiği çizelim.

 

              2. y = -x² + x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

        

              Verilen fonksiyonda a = -1, b = 1  ve  c = 2  dir.

              Tepe noktasının koordinatları;

               olduğundan, tepe noktası olur.

              x = 0 için, y = 2 dir. O halde, y eksenini kesen nokta (0, 2) dir.

              y = 0 için, -x² + x + 2 = 0  Þ x² – x – 2 = 0 Þ (x – 2) (x + 1) = 0

                                                                                   Þ x₁ = 2    v    x₂ = -1  dir.

              O halde, x eksenini kestiği noktalar; (2, 0) ve (-1, 0) dır.

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

 

              3. y = x² – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              1. YOL: Verilen fonksiyonda, a = 1  ,  b = 0   ve  c = -4  tür.

              Tepe noktasının koordinatları;

               olduğundan, tepe noktası T(0. 4) olur.

              x = 0 için, y = -4 olduğundan grafik, y eksenini (0, -4) noktasında keser.

              y = 0 için, x² – 4 = 0 Þ x² = 4 Þ x₁ = 2    v    x₂ = -2 olduğundan, grafik x eksenini (-2, 0) noktalarında keser.

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

 

              y = ax² + c biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(0, c) dir. Bu nokta y ekseni üzerinde işaretlenerek a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru, a < 0 ise, kollar aşağı doğru çizilir.

 

              2. YOL: Yukarıdaki açıklamaya göre y = x² – 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktas, T(0, -4) tür. a = 1 > 0 olduğundan, grafik yandaki gibidir.

 

              4. y = x² – 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              Verilen fonksiyonda, a = 1  ,  b = -2  ve  c = 0 dır.

              Tepe noktasının koordinatları;

               olduğundan, tepe noktası T(1. -1) dir.

              x = 0  için, y = 0² – 2.0 = 0 Þ Grafik y eksenini (0. 0) noktasında keser.

              y = 0 için,  x² – 2x = 0 Þ x(x – 2) = 0 x₁ = 0   v   x₂ = 2

              Grafik, x eksenini (0, 0) ve (2, 0) noktalarında keser.

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

 

              y = ax² + bx + c parabolünde c = 0 ise, grafik orijinden geçer.

              5. y = 2(x – 1)² – 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

             

              y = a(x – r)² + k biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası, T(r. k) idi.

              O halde; y = 2(x – 1)² – 8 fonksiyonunun tepe noktası; T(1, -8) dir.

              x = 0 için, y = 2(0 – 1)² – 8 = -6 ise, grafik y eksenini (0, 6) noktasında keser.

                                                                                                                      x₁ = -1

              y = 0 için, 2(x – 1)² – 8 = 0 Þ 2(x – 1)² = 8 Þ x – 1 = ±2

                                                                                                                      x₂ = 3  

              Grafik x eksenini, (-1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser.

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

              6. y = x² +2x-1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              Verilen fonksiyonda, a = x-1 , b = 2 ve c = -1 dir.

               Tepe noktası, T(1, 0)  dır.                                             

              x = 0 için, y = -1 ise, grafik y ekseni (0, -1) de keser.

              y = 0 için, x² + 2x-1 = 0  (x-1)² = 0 x₁ = x₂ = 1

              Grafik, ş eksenine (1, 0)noktasında teğettir. Niçin?

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

 

              y = 0 ax² + bx + c parabolümde, ax² + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü varsa yani, D = 0 ise, parabol tepe noktasında ş eksenine teğettir. 

             

              a<0 ise;                                                        a>0 ise;

              7. y = x²-2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

              Verilen denklemde, a = 1, b = -2, c = 5 tir.

               Tepe noktası T (1, 4) tür.  

              x = 0 için, y = 5 ise, grafik y ekseni (0, 5) noktasında keser.

              y = 0 için, x²-2ş + 5 0  D = 4 - 4.5 = -16<0 gerçek kök yoktur. Grafik x eksenini kesmez.

              Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.

 

              y = ax² + bx + c parabolünde, ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri yoksa, yani D<0 ise, grafik x eksenini kesmez.

              a>0 ise;                                                        a<0 ise;

              8. Yanda grafiği verilen,

              y = mx² + x +2 fonksiyonu,

              P(2, 1) noktasından geçiyor

              ise, m'yi bulalım.

              P noktasının koordinatları, verilen fonksiyon denklemini sağlar. Yani,

              y = -mx² + x + 2

              1 = m . 2² + 2 + 2  4m = 3  bulunur.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİNİN

EN BÜYÜK VEYA EN KÜÇÜK ELEMANINI BULMA

              y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmiştik. Şimdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en küçük veya en büyük elemanını bulalım.

 

              a>0 ise;                              

Grafikte görüldüğü gibi, x değişkeni  ya kadar artarken, y fonksiyonu  dan  ya kadar azalmaktadır. x değişkeni,  doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu da  a doğru artmaktadır. Yani, y'nin en küçük değerini,  olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir.

              Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük (minimum) değeri denir.

              a>0 olmak üzere, y = a² + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri, tepe noktasının ordinatıdır.

              Yani,  dır. En büyük değeri yoktur.

              a<0 ise;                              

 

              Grafiğe dikkat edilirse x değişkeni (-¥) dan  ya kadar artarken, y fonksiyonu (-¥) dan  ya kadar artmaktadır. x değişkeni,  dan (+¥) doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu  dan (-¥) a doğru azalmaktadır. Yani y nin en büyük değerini,  olarak aldığı, grafikte açık olarak görülmektedir. Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük (maksimum) değeri denir.

              O halde; a < 0 olmak üzere, y = ax² + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değeri, tepe noktasının ordinatıdır.

              Yani, k =  dır. En küçük değeri yoktur.

              ÖRNEKLER

              1. y = 2x² + x – 2 fonksiyonunun, görüntü kümesinin en küçük değerini bulalım.

              Verilen fonksiyonda a = 2   ,   b = 1   ,   c = - 2 dir.

              a = 2 > 0 olduğundan, fonksiyonunun görüntü kümesini en küçük değeri, k= dır.

              K =  olur.

              2. y = -x² + 4x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım.

              Verilen fonksiyonda,  a = 1    ,   b = 4  ve  c = 2  dir.

              a = -1 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri,  dır.

               olur.

              3. f(x) = -4x² + 2x + 1 – 2m fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değeri 4 ise, m yi bulalım.

              Verilen fonksiyonda,  a = -4  ,   b = 2  ve  c = 1-2m  dir.

              a = -4 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri k dır. O halde, k = 4 olmalıdır.

              k = 4 Þ  = 4 Þ

                                                   Þ -16 + 32m – 4 = -64

                                                   Þ 32m = -44 Þ m = -   olur.

              4. y = -2(x – 1)² + 5 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım.

              a = -2 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin, en büyük değeri k dır.

              y = -2(x – 1)² + 5 fonksiyonunda k = 5 olduğundan, istenilen değer 5 olur.

              İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN TEMSİL ETTİĞİ PARABOLÜN SİMETRİ EKSENİNİ BULMA

              y = ax² parabolünün simetri ekseninin, x = 0 doğrusu olduğunu görmüştük.

y = ax² + bx + c fonksiyonunun, y =  biçiminde yazılabildiğini daha önce göstermiştik. Burada,  diyelim ve x₁ değerini bu eşitlikle yerine yazalım.

  elde edilir.

              Yukarıdaki grafiğe dikkat ederseniz, bu grafiğin kollarının, x =  doğrusuna göre simetrik olduğunu görürsünüz. İşte bu, x =  doğrusuna, y = ax2 + bx + c parabolünün SİMETRİ EKSENİ denir.

              ÖRNEKLER

              1. y = 2x² – 4x + 3 parabolünün simetri eksenini bulalım.

              Verilen fonksiyonda, a = 2   ,   b = -4  olup  x =  dir.

              O halde, x = 1 doğrusu simetri eksenidir.

              2. y = 4x² – 3 parabolünün simetri eksenini bulalım.

              Verilen fonksiyonda, a = 4   ,   b = 0  olup x =  dır.

              O halde, x = 0 doğrusu (y ekseni) simetri eksenidir.

·        y = ax² ve y = ax² + c parabollerinin simetri eksenleri, x = 0 doğrusu, yani, y eksenidir.

·        y = a(x-r)² ve y = a(x-r)² + k parabollerinin simetri eksenleri, x = r doğrusudur.

              3. y = (3m – 1)x² – 4mx + 1 parabolünün simetri ekseni, x = 3 doğrusu ise, m kaçtır?

              Verilen fonksiyonda, a = 3m – 1 ve b = -4m dir.

              Simetri ekseni x = 3 doğrusu ise;

               bulunur.

              EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARIN KOORDİNATLARI VERİLEN BİR PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA

              x eksenini (p, 0) ve (q, 0), y ekseninide (0, n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım.

              x eksenini kesen noktaların apsisi, aradığımız denklemin kökleridir. O halde, kökleri bilinen 2. dereceden denklemin yazılışını hatırlarsak bu denklem;

              a[x² – (x₁ + x₂).x + (x₁.x₂)] = 0 biçiminde idi. Dolayısıyla, aradığımız parabolün denklemi;

                                   y = a[x² – (p + q) x + p.q] olur.   (1)

              Ayrıca grafik, (0, n) noktasından geçtiği için, bulduğumuz (1) eşitliğini sağlar. Yani, x = 0 alınırsa y = n olur. Bu değerleri yerine yazarsak, a yı bulur ve parabolün denklemi olan y = ax² + bx + c yi elde ederiz.

              2. YOL: Aradığımız denklem, y = ax² + bx + c dir. Bu denklem, grafiğin üzerindeki üç noktayı da sağlayacağından, bu noktaların bileşenleri yerine yazılarak, 3 denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümü ile a, b, c bulunur ve yerine yazılırsa, istenilen denklem bulunmuş olur.

              GRAFİĞİNİN TEPE NOKTASI İLE HERHANGİ BİR NOKTASININ KOORDİNATLARI VERİLDİĞİNDE PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA

              Tepe noktası T(r, k) olan ve y eksenini (0, n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım.

              Grafiğinin tepe noktası T(r, k) olan ikinci dereceden y = ax² + bx + c fonksiyonunun, y = a(x – r)² + k biçiminde yazılabildiğini öğrenmiştik. Ayrıca grafik (0, n) noktasından geçtiği için, bu nokta, y = a(x – r)² + k denklemini sağlar. Yani, x = 0 için, y = n alınarak a değeri bulunabilir.

              ÖRNEKLER

              1. Aşağıda grafiği verilen parabolün denklemini bulalım.

 

              Parabolün tepe noktası olan, T(2, -2) , y = a(x – r)² + k bağıntısını sağlar.

                                   y = a(x – r)² + k  (r = 2,   k = -2  yazalım.)

                                   y = a(x – r)² – 2 bulunur.  (I)

              Ayrıca grafik (0, 3) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar.

              y = a(x – 2)² – 2   (x = 0,    y = 3 yazalım)

              3 = a(0 –2)² – 2   Þ  3 = 4a – 2 Þ a =  O halde aradığımız. Denklem;

               tür.

              2. Aşağıda, grafiği verilen parabolün denklemini bulalım.

 

              Tepe noktası olan T(-1, 2),  y=a(x – r)² + k bağıntısını sağlar.

              y = a(x – r)² + k   (r = -1,  k = 2  yazalım)

              y = a(x + 1)² + 2 bulunur.   (I)

              Ayrıca grafik, (0, 0) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar.

              y =a(x + 1)² + 2  (x = 0,  y = 0  yazalım)

              0 = a(0 + 1)² + 2 Þ 0 = a + 2 Þ a = -2 bulunur. O halde, aranılan denklem;

              y = -2(x + 1)² + 2 dir.

              3. Aşağıda grafiği verilmiş olan parabolün denklemini bulalım.

 

              Tepe noktası olan T(1, 0),   y = a(x – 1)² + k bağıntısını sağlar.

              y = a(x – r)² + k   (r = 1,   k = 0  yazalım)

              y = a(x – r)² + 0 bulunur.  (I)

              Ayrıca grafik, (0, 2) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar.

              y = a(x – r)²     (x = 0,   y = 2 yazalım)

              2 = a(0 – 1)² Þ a = 2 bulunur. O halde, aradığımız denklem; y = 2(x – 1)² dir.

              y = ax² + bx +c fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise ax² + bx + c = 0 denkleminin diskirminantı sıfırdır.

              ÖRNEKLER

              1. y = x² – (m – 2)x + 4 parabolü x eksenine teğet ise, m değerlerini bulalım.

              Verilen parabol x eksenine teğet olduğundan,

              x² – (m – 2)x + 4 = 0 denkleminde =0 dır.

              = b² – 4ac = [-(m – 2)]² – 4 . 1 . 4 = m² – 4m + 4 – 16 = m² – 4m – 12

               = 0 Þ m² – 4m – 12 = 0 Þ m₁ = 6   v   m₂= -2 dir.

              2. y = mx² + (2m – 1)x + m + 2 parabolünün x eksenine teğet olması için, m kaç olmalıdır?

              mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0 denkleminde = 0 olmalıdır.

               = (2m –1)² – 4m(m + 2) = 4m² – 4m – 4m + 1 –4m² – 8m

                                                           = -12m + 1

               = 0 Þ -12m + 1 = 0 Þ m =   bulunur.